原函数与变上限积分​

原函数与变上限积分 ​原函数 ​变上限积分 ​设 f∈R[a,b]，称函数

Φ(x)=∫axf(t)dt(x∈[a,b])为 f 在 [a,b] 上的变上限积分函数，简称变上限积分

是上限 x 的函数类似地有变下限函数，可化为负的变上限函数连续性 ​变上限函数是闭区间上的连续函数

可导性 ​设 f∈R[a,b]，则变上限函数 Φ(x)=∫axf(t)dt∈D[a,b]，且其导数为

Φ′(x)=ddx∫axf(t)dt=f(x),x∈[a,b]原函数存在性定理 ​连续的函数必定有原函数

仅仅是充分条件 不连续的函数也有原函数F(x)={x2sin⁡1x2,x∈[−1,0)∪(0,1]0,x=0牛顿莱布尼兹公式函数的可积性与是否存在原函数无关 符号函数可积但无原函数有原函数但不可积（无界）复合变限积分函数求导 ​ddx∫ψ(x)φ(x)f(t)dt=f[φ(x)]φ′(x)−f[ψ(x)]ψ′(x)应用 ​求极限带积分的函数形态研究不等式的证明 积分形式化为变上限函数，然后用函数不等式牛顿 - 莱布尼兹公式 ​设 f∈C[a,b]，F(x) 是 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=F(x)|ab证明 构造变上限积分 Φ(x)=∫axf(t)dt，有 Φ(a)=0Φ(x)=F(x)+C⟹C=−F(a)∴∫axf(t)dt=F(x)−F(a)令 x=b 即得用于定积分的计算定理（减弱条件） ​设函数 f∈R[a,b]，又 F(x)∈C[a,b]，且 F(x) 是 f(x) 在 (a,b)（开区间）内的原函数， 即 ∀x∈(a,b):F′(x)=f(x) 牛顿 - 莱布尼兹公式仍然成立

有的函数在端点上没有原函数，仍然可以运用牛顿 - 莱布尼兹公式定理（进一步减弱条件） ​……除了有限个点外，满足 F′(x)=f(x)，……